Logarytmy dla obwodów analogowych

PPS Wykład 2/Przykład 1 (Lipiec 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Logarytmy dla obwodów analogowych

Matematyka dla elektroniki


Pytanie 1

Pojęcie mocy matematycznej jest znane większości studentów algebry. Na przykład, dziesięć do trzeciej władzy oznacza to:

10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

. . . a osiem do siódmej siły oznacza to:

8 7 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 2 097, 152

Podobnie jak odejmowanie jest funkcją odwrotną dodawania, a dzielenie jest odwrotną funkcją mnożenia (ponieważ z funkcjami odwrotnymi, jedna "cofa" drugą), istnieje również funkcja odwrotna dla mocy i nazywamy ją logarytmem .

Napisz ponownie wyrażenie 10 3 = 1000, aby używało tych samych ilości (10, 3 i 1000) w kontekście logarytmu zamiast mocy, tak jak pokazano tutaj odejmowanie jako odwrotność dodawania, oraz podział jest przedstawiony jako odwrotność mnożenia w następujących przykładach:

3 + 8 = 11 (+ i - są funkcjami odwrotnymi) 11 - 3 = 8

2 × 7 = 14 (× i ÷ to funkcje odwrotne) 14 ÷ 2 = 7

10 3 = 1000 (uprawnienia i logi są funkcjami odwrotnymi) log 10 "# 1"> Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

10 3 = 1000 (moce i logi są funkcjami odwrotnymi) log 10 1000 = 3

Uwagi:

Z mojego doświadczenia wynika, że ​​większość amerykańskich studentów nie jest przygotowana na temat logarytmów, gdy się ze mną uczyć. Prawdą jest, że logarytmy nie widzą tak dużego wykorzystania w życiu codziennym jak moce (a dla większości ludzi jest to bardzo mało!). Logarytmy były powszechną taryfą dla uczniów szkół średnich i studentów, ponieważ były niezbędne do obsługi suwaka, eleganckiego mechanicznego analogowego urządzenia komputerowego popularnego wiele lat temu.

Celem tego pytania jest dwojaki: aby uczniowie uświadomili sobie, czym jest logarytm, a także aby przypomnieć im o koncepcji funkcji odwrotnych, które stają się bardzo ważne w analogowych obwodach obliczeniowych.

pytanie 2

Biorąc pod uwagę następujące wyrażenie matematyczne, napisz kolejną, definiując logarytm, używając tych samych zmiennych:

Jeśli: x y = z Następnie: log ? ? =?

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Jeśli: x y = z Następnie: log x z = y

Uwagi:

Nic specjalnego tutaj. Rzeczywiście, odpowiedź na to pytanie może pochodzić z dowolnego podręcznika algebry.

pytanie 3

Kalkulatory elektroniczne z funkcją logarytmu mają co najmniej dwa różne typy logarytmów: wspólny logarytm i logarytm naturalny, symbolizowane odpowiednio jako "log" i "ln". Wyjaśnij, jaka jest różnica między tymi dwoma typami logarytmów.

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Wspólna funkcja logarytmu przyjmuje "podstawową" wartość dziesięciu, podczas gdy logarytm naturalny przyjmuje wartość bazową e (stała Eulera).

Pytanie uzupełniające: jaka jest przybliżona wartość e? Jak sprawić, by kalkulator dał ci odpowiedź (zamiast szukać w książce matematycznej?

Uwagi:

Niektóre kalkulatory umożliwiają oczywiście wyodrębnienie logarytmu dowolnej liczby do dowolnej bazy. Tutaj po prostu chcę, aby studenci zapoznali się z dwoma funkcjami logarytmu dostępnymi na najbardziej podstawowych kalkulatorach naukowych.

Zauważ, że niektóre kalkulatory pokaże tylko tyle cyfr e, aby dać fałszywe wrażenie, że się powtarzają (dziesięć cyfr: e = 2, 718281828). Jeśli ktoś sugeruje, że e jest (racjonalnie) powtarzającą się liczbą dziesiętną, popraw to nieporozumienie, mówiąc im, że jest irracjonalne, tak jak π.

Pytanie 4

Zanotuj następujące logarytmiczne tożsamości, używając logarytmu "wspólnego" (podstawa 10):

log10 = 1

log100 = 2

log1000 = 3

log10000 = 4

W pierwszym równaniu numery 10 i 1 były powiązane razem przez funkcję logu. W drugim równaniu numery 100 i 2 były powiązane razem przez tę samą funkcję dziennika, i tak dalej.

Przepisz razem cztery równania w taki sposób, aby te same liczby były ze sobą powiązane, ale bez pisania "log". Innymi słowy, reprezentują te same zależności matematyczne, używając jakiejś funkcji matematycznej innej niż wspólna funkcja logarytmu.

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

Uwagi:

Taka ilustracja pomaga uczniom zrozumieć, co właściwie robi funkcja "log".

Pytanie 5

Zanotuj następujące logarytmiczne tożsamości, używając logarytmu "wspólnego" (podstawa 10):

log0.1 = -1

log0.01 = -2

log0.001 = -3

log0.0001 = -4

W pierwszym równaniu liczby 0.1 i 1 były powiązane razem przez funkcję logu. W drugim równaniu numery 0.01 i 2 były powiązane razem przez tę samą funkcję dziennika i tak dalej.

Przepisz razem cztery równania w taki sposób, aby te same liczby były ze sobą powiązane, ale bez pisania "log". Innymi słowy, reprezentują te same zależności matematyczne, używając jakiejś funkcji matematycznej innej niż wspólna funkcja logarytmu.

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

10 -1 = 0, 1

10 -2 = 0, 01

10 -3 = 0, 001

10 -4 = 0, 0001

Uwagi:

Taka ilustracja pomaga uczniom zrozumieć, co właściwie robi funkcja "log".

Pytanie 6

Przeanalizuj następujący postęp instrukcji matematycznych:

(10 2 ) (10 3 ) = 100000

10 2 + 3 = 100000

10 5 = 100000

Co oznacza ten wzór? Jaką zasadę algebry ilustrują te trzy równania?

Następnie zbadaj ten postęp twierdzeń matematycznych:

log10 5 = log100000 = 5

log10 2 + 3 = log100000 = 5

log10 2 + log10 3 = log100000 = 5

Co oznacza ten wzór? Jaką zasadę algebry ilustrują te trzy równania?

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Pierwszy wzór:

Iloczyn dwóch liczb podstawowych o różnych wykładnikach jest równy tej liczbie bazowej podniesionej do potęgi sumy wykładników.

Drugi wzór:

Suma dwóch logarytmów jest równa logarytmowi tych dwóch liczb.

Uwagi:

W tym pytaniu chcę, aby uczniowie zaczęli widzieć, w jaki sposób logarytmy odnoszą mnożenie do dodawania oraz w jaki sposób moce odnoszą się do mnożenia. Jest to pierwszy krok do uznania przez studentów logarytmów za funkcje transformujące : sposób przekształcania jednego rodzaju problemu matematycznego w prostszy typ problemu matematycznego.

Pytanie 7

Zbadaj ten postęp instrukcji matematycznych:

(100) (1000) = 100000

(100) (1000) = 10 5

log ((100) (1000)) = log10 5

log100 + log1000 = log10 5

log10 2 + log10 3 = log10 5

2 + 3 = 5

To, co zaczęło się jako problem mnożenia, stało się problemem dodatkowym, dzięki zastosowaniu logarytmów. Co to mówi o użyteczności logarytmów jako narzędzia arytmetycznego?

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Logarytmy mogą zredukować złożoność równania z mnożenia, aż do dodania, wskazują na jego przydatność jako narzędzia do uproszczenia problemów arytmetycznych. W szczególności logarytm produktu jest równy sumie logarytmów pomnożonych przez dwie liczby.

Uwagi:

W matematyce każda procedura, która redukuje złożony typ problemu w prostszy typ problemu, nazywana jest funkcją transformacji, a logarytmy są jednym z najprostszych rodzajów istniejących funkcji transformacyjnych.

Pytanie 8

Załóżmy, że masz kalkulator naukowy z dwoma zepsutymi przyciskami: mnożenie (×) i dzielenie (÷). Zademonstruj, jak rozwiązać ten prosty problem mnożenia, używając tylko logarytmów, dodawania i antilogarytmów (uprawnień):

7 × 5 =? ? ?

Odpowiedź na ten problem była dość łatwa, abyś mógł się dowiedzieć bez kalkulatora, więc napotkasz więcej problemów z ćwiczeniem:

23 × 35 =
781 × 92 =
19, 4 × 60 =
0, 019 x 2, 6 =
Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Tutaj pokażę ci kroki, jak używać logarytmów do rozwiązania pierwszego problemu mnożenia:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = 10 log7 + log5

7 x 5 = 10 0, 8451 + 0, 6990

7 × 5 = 10 1, 5441

7 × 5 = 35

Ponieważ pozostałe są dość łatwe do sprawdzenia (z niezepsutym kalkulatorem!), Zostawię ich rozwiązania w twoich zdolnych rękach.

Uwagi:

Nawiasem mówiąc, nie ma nic szczególnego w logarytmie wspólnym, który uzasadniałby jego wyłączne wykorzystanie w tym problemie. Mogliśmy równie łatwo zastosować funkcję logarytmu naturalnego z tym samym (końcowym) wynikiem:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = e ln7 + ln5

7 x 5 = e 1, 9459 + 1, 6094

7 × 5 = e 3, 5553

7 × 5 = 35

Pytanie 9

Zbadaj ten postęp instrukcji matematycznych:

1000


100

= 10

1000


100

= 10 1

log  1000


100

  = log10 1

log1000 - log100 = log10 1

log10 3 - log10 2 = log10 1

3 - 2 = 1

To, co zaczęło się jako problem podziału, zakończyło się problemem odejmowania, poprzez zastosowanie logarytmów. Co to mówi o użyteczności logarytmów jako narzędzia arytmetycznego?

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Logarytmy mogą zredukować złożoność równania z dzielenia, aż do odejmowania, wskazują jego przydatność jako narzędzia do uproszczenia problemów arytmetycznych. W szczególności logarytm ilorazu jest równy różnicy między logarytmami dzielonych dwóch liczb.

Uwagi:

W matematyce każda procedura, która redukuje złożony typ problemu w prostszy typ problemu, nazywana jest funkcją transformacji, a logarytmy są jednym z najprostszych rodzajów istniejących funkcji transformacyjnych.

Pytanie 10

Załóżmy, że masz kalkulator naukowy z dwoma zepsutymi przyciskami: mnożenie (×) i dzielenie (÷). Zademonstruj, jak rozwiązać ten prosty problem mnożenia, używając tylko logarytmów, dodawania i antilogarytmów (uprawnień):

12 ÷ 3 =? ? ?

Odpowiedź na ten problem była dość łatwa, abyś mógł się dowiedzieć bez kalkulatora, więc napotkasz więcej problemów z ćwiczeniem:

122 ÷ 35 =
781 ÷ 92 =
19, 4 ÷ 60 =
3, 5 ÷ 0, 21 =
Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Tutaj pokażę ci kroki, jak używać logarytmów do rozwiązania pierwszego problemu mnożenia:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = 10 log12 - log3

12 ÷ 3 = 10 1, 0792 - 0, 4771

12 ÷ 3 = 10 0, 6021

12 ÷ 3 = 4

Ponieważ pozostałe są dość łatwe do sprawdzenia (z niezepsutym kalkulatorem!), Zostawię ich rozwiązania w twoich zdolnych rękach.

Uwagi:

Nawiasem mówiąc, nie ma nic szczególnego w logarytmie wspólnym, który uzasadniałby jego wyłączne wykorzystanie w tym problemie. Mogliśmy równie łatwo zastosować funkcję logarytmu naturalnego z tym samym (końcowym) wynikiem:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = e ln12 - ln3

12 ÷ 3 = e 2, 4849 - 1, 0986

12 ÷ 3 = e 1.3863

12 ÷ 3 = 4

Pytanie 11

Zbadaj ten postęp instrukcji matematycznych:

(1000) 2 = 1000000

(1000) 2 = 10 6

log ((1000) 2 ) = log10 6

(2) (log1000) = log10 6

(2) (log10 3 ) = log10 6

(2) (3) = 6

To, co zaczęło się jako problem wykładniczy, zakończyło się mnożeniem, poprzez zastosowanie logarytmów. Co to mówi o użyteczności logarytmów jako narzędzia arytmetycznego?

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Logarytmy mogą zredukować złożoność równania z potęgowania, aż do mnożenia, wskazują jego przydatność jako narzędzia do uproszczenia problemów arytmetycznych. W szczególności logarytm liczby podniesionej do potęgi jest równy tej mocy pomnożonej przez logarytm liczby.

Uwagi:

W matematyce każda procedura, która redukuje złożony typ problemu w prostszy typ problemu, nazywana jest funkcją transformacji, a logarytmy są jednym z najprostszych rodzajów istniejących funkcji transformacyjnych.

Pytanie 12

Załóżmy, że posiadasz kalkulator naukowy z dwoma zepsutymi przyciskami: moc (y x ) i root ( x

√ {y}). Zademonstruj, jak rozwiązać ten prosty problem z zasilaniem, używając tylko logarytmów, mnożenia i antilogarytmów (mocy):

3 4 =? ? ?

Odpowiedź na ten problem była dość łatwa, abyś mógł się dowiedzieć bez kalkulatora, więc napotkasz więcej problemów z ćwiczeniem:

25 6 =
564 3 =
0, 224 2 =
41 0, 3 =
Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Tutaj pokażę ci kroki, jak używać logarytmów do rozwiązania pierwszego problemu mnożenia:

3 4 =? ? ?

3 4 = 10 (4 log3)

3 4 = 10 (4) (0, 4771)

3 4 = 10 1, 9085

3 4 = 81

Ponieważ pozostałe są dość łatwe do sprawdzenia (z niezepsutym kalkulatorem!), Zostawię ich rozwiązania w twoich zdolnych rękach.

Uwagi:

Nawiasem mówiąc, nie ma nic szczególnego w logarytmie wspólnym, który uzasadniałby jego wyłączne wykorzystanie w tym problemie. Mogliśmy równie łatwo zastosować funkcję logarytmu naturalnego z tym samym (końcowym) wynikiem:

3 4 =? ? ?

3 4 = e (4 ln3)

3 4 = e (4) (1, 0986)

3 4 = e 4.3944

3 4 = 81

Pytanie 13

Zbadaj ten postęp instrukcji matematycznych:


1000

= 10 1, 5

log


1000

= log (10 1.5 )

log (1000 1/2 ) = log (10 1.5 )

1


2

(log1000) = log (10 1.5 )

1


2

(log10 3 ) = log (10 1.5 )

3


2

(log10) = log (10 1.5 )

3


2

(1) = log (10 1.5 )

3


2

= log (10 1.5 )

3


2

= 1, 5

To, co zaczęło się jako ułamkowy wykładnik, zakończyło się prostym ułamkiem, dzięki zastosowaniu logarytmów. Co to mówi o użyteczności logarytmów jako narzędzia arytmetycznego?

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Logarytmy te mogą zredukować złożoność równania z frakcyjnej potęgowania, aż do prostych ułamków, wskazują na jego przydatność jako narzędzia do uproszczenia problemów arytmetycznych. W szczególności logarytm pierwiastka liczby jest równy logarytmowi tej liczby podzielonemu przez indeks główny.

Uwagi:

W matematyce każda procedura, która redukuje złożony typ problemu w prostszy typ problemu, nazywana jest funkcją transformacji, a logarytmy są jednym z najprostszych rodzajów istniejących funkcji transformacyjnych.

Pytanie 14

Załóżmy, że posiadasz kalkulator naukowy z dwoma zepsutymi przyciskami: moc (y x ) i root ( x

√ {y}). Zademonstruj, jak rozwiązać ten prosty problem root przy użyciu logarytmów, podziałów i antilogarytmów (uprawnień):

3


8

=? ? ?

Odpowiedź na ten problem była dość łatwa, abyś mógł się dowiedzieć bez kalkulatora, więc napotkasz więcej problemów z ćwiczeniem:

4 √ {13} =
5 √ {209} =
2, 5 √ {9935} =
9.2 √ {0.15} =
Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Tutaj pokażę ci kroki, jak używać logarytmów do rozwiązania pierwszego problemu mnożenia:

3


8

=? ? ?

3


8

= 10 (1/3 log8)

3


8

= 10 (1/3 (0, 9031))

3


8

= 10 0.3010

3


8

= 2

Ponieważ pozostałe są dość łatwe do sprawdzenia (z niezepsutym kalkulatorem!), Zostawię ich rozwiązania w twoich zdolnych rękach.

Uwagi:

Nawiasem mówiąc, nie ma nic szczególnego w logarytmie wspólnym, który uzasadniałby jego wyłączne wykorzystanie w tym problemie. Mogliśmy równie łatwo zastosować funkcję logarytmu naturalnego z tym samym (końcowym) wynikiem:

3


8

=? ? ?

3


8

= e (1/3 ln8)

3


8

= e (1/3 (2.0794))

3


8

= e 0, 6931

3


8

= 2

Pytanie 15

Być może zastanawiasz się, dlaczego ktokolwiek miałby kłopoty z logarytmami, aby rozwiązać arytmetyczne problemy, dla których dysponujemy doskonale dobrymi i skutecznymi cyfrowymi funkcjami kalkulatora elektronicznego. Na przykład, dlaczego ktoś miałby to zrobić:

10 log7 + log5

. . . kiedy mogliby wykonać następujące czynności na tym samym kalkulatorze?

7 × 5

Szybka odpowiedź na to bardzo dobre pytanie brzmi: "kiedy trudniej jest bezpośrednio rozmnażać dwie liczby." Kłopot w tym, że większość ludzi ma trudności z wyobrażeniem sobie, kiedy łatwiej byłoby wziąć dwa logarytmy, dodać je razem i podnieść dziesięć do tej mocy, niż byłoby po prostu pomnożyć pierwotne dwie liczby razem.

Odpowiedź na tę zagadkę znajduje się w obwodzie wzmacniacza operacyjnego. Okazuje się, że o wiele łatwiej jest zbudować pojedyncze obwody opamp, które dodają, odejmują, potęgują lub logarytmy, niż budują takie, które bezpośrednio mnożą lub dzielą dwie wielkości (napięcia analogowe) razem.

Możemy myśleć o tych funkcjach opamp jako "blokach", które mogą być połączone w celu wykonywania złożonych funkcji arytmetycznych:

Użycie tego modelu "bloków" funkcji matematycznej pokazuje, w jaki sposób następujący zbiór analogowych bloków funkcyjnych matematycznych może być połączony razem w celu zwielokrotnienia dwóch napięć analogowych:

Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

Uwagi:

Cel tego pytania jest prosty: zapewnić praktyczne zastosowanie logarytmów jako narzędzi obliczeniowych w dobie tanich, wszechobecnych cyfrowych urządzeń komputerowych.

Pytanie 16

Logarytmy mają interesujące właściwości, które możemy wykorzystać w obwodach elektronicznych do wykonywania pewnych skomplikowanych operacji. W tym pytaniu zalecam użycie kalkulatora ręcznego do eksploracji tych właściwości.

Oblicz następujące:

10 log3 =
log (10 8 ) =
e ln3 =
ln (e 8 ) =
10 (log3 + log5) =
e (ln3 + ln5) =
10 (log2.2 + log4) =
e (ln2.2 + ln4) =
10 (log12 - log4) =
e (ln12 - ln4) =
10 (2 log3) =
e (2 ln3) =
10 ((log25 / 2)) =
e ((ln25 / 2)) =
Ujawnij odpowiedź Ukryj odpowiedź

10 log3 = 3
log (10 8 ) = 8
e ln3 = 3
ln (e 8 ) = 8
10 (log3 + log5) = 15
e (ln3 + ln5) = 15
10 (log2.2 + log4) = 8.8
e (l2.2 + ln4) = 8, 8
10 (log12 - log4) = 3
e (ln12 - ln4) = 3
10 (2 log3) = 9
e (2 ln3) = 9
10 ((log25 / 2)) = 5
e ((ln25 / 2)) = 5

Uwagi:

Przedyskutuj, jakie operacje matematyczne są wykonywane ze stałymi w tych równaniach, używając logarytmów. Jakie wzorce zauważają twoi uczniowie "meta-tagi ukryte-wydrukuj">

Powiązane narzędzia:

Kalkulator tłumienia odbicia Kalkulator dzielnika mocy N-Way Kalkulator indukcyjności sprzężonego łącza Broadside

  • ← Poprzedni arkusz roboczy

  • Indeks arkusza roboczego

  • Następny arkusz roboczy →